Mathematics · 1665
Traitté du Triangle Arithmetique
Excerpt · Paris, Guillaume Desprez, 1665
- Source
- gallica.bnf.fr
- Retrieved
- 27 September 2026
- License
- Public domain
- Rights holder
- Blaise Pascal, 1665
- Language
- French
About this edition and its rights
Edition
Excerpt of the Traitté du Triangle Arithmetique, the first piece of Traité du triangle arithmétique, avec quelques autres petits traitez sur la mesme matiere, par Monsieur Pascal (Paris, Guillaume Desprez, 1665). Kept, complete: the heading “Definitions” and all its paragraphs (pp. 1-2, “I’Appelle Triangle Arithmetique” to “conuiendra à tous les autres”), and the Consequence premiere with its proof and its four lines of examples (pp. 2-3); left out: the Consequences seconde to dixneufiesme, the Definition of the cells of the dividend, the Problesme and the other treatises of the volume. The hero image is the folding plate “Triangle Arithmetique” of the BnF copy (Réserve des livres rares, RES-V-860, Gallica view 6), cropped to the triangle and its legends, turned to greyscale and its paper whitened; the library stamp in its lowest cell is kept. The text was read line by line on the BnF scan (views 7 to 9) and on the Internet Archive scan of the Lausanne copy (bub_gb_UqgUAAAAQAAJ), whose OCR served as the working base: that OCR garbles nearly all the italic, so most lines were set from the page images. The definitions are set in italics with the defined terms in roman, as printed; the statement of the consequence is set as printed, in larger type with a hanging indent. Spelling, accents and punctuation are those of the print, including “tinües”, “cettte methode”, “ou E, est” and “ou ie considere”; the dagger that the print uses as a plus sign (“3 † 4”, “G † zero”) is kept. The letter printed like a cross between cells φ and θ is set as ψ, the letter it has on the plate; the second axis of the definitions is set “Gζ”. Normalizations: the long s is set as a round s and the ct and st ligatures as two letters; u and v, i and j are kept as printed; the drop cap I of “I’Appelle” is set as a capital; the apostrophes are set as typographic apostrophes; running heads, page numbers and signature marks are dropped, and words hyphenated at line ends are rejoined.
Rights
Blaise Pascal died on 19 August 1662 (Wikidata Q1290) and the treatise was published in 1665: it is in the public domain in France, where the author died before 1 January 1956, and in the United States, where it was published before 1 January 1931. Gallica gives the scan the rights statement “domaine public” (OAI record of ark:/12148/btv1b86262012); the Internet Archive marks the Lausanne scan with the Public Domain Mark 1.0.
The plate is reproduced from the Gallica scan. The conditions of use of Gallica (https://gallica.bnf.fr/html/und/conditions-dutilisation-des-contenus-de-gallica, the license link of the IIIF manifest) make non-commercial reuse free with the credit “Source gallica.bnf.fr / BnF”, which the footer gives, and commercial reuse subject to a license. The Lausanne copy scanned by the Internet Archive does not show the face of the plate, which is folded in it. A faithful reproduction of a public domain work of visual art is not protected in the European Union (article 14 of Directive (EU) 2019/790), and Gallica itself gives the scan the rights statement “domaine public”.
Definitions.#
I’Appelle Triangle Arithmetique, vne figure dont la construction est telle.
Ie mene d’vn point quelconque, G, deux lignes perpendiculaires, l’vne à l’autre, GV, Gζ, dans chacune desquelles ie prens tant que ie veux de parties égales, & continües à commencer par G, que ie nomme 1. 2. 3. 4. &c. & ces nombres sont les exposans des diuisions des lignes.
En suitte ie ioints les points de la premiere diuision qui sont dans chacune des deux lignes, par vne autre ligne qui forme vn triangle dont elle est la base.
Ie ioints ainsi les deux points de la seconde diuision par vne autre ligne, qui forme vn second triangle dont elle est la base.
Et ioignant ainsi tous les points de diuision, qui ont vn mesme exposant, i’en forme autant de triangles & de bases.
Ie mene par chacun des points de diuision, des lignes paralleles aux costez, qui par leurs intersections forment de petits quarrez, que i’appelle Cellules.
Et les cellules qui sont entre deux paralleles qui vont de gauche à droit, s’appellent cellules d’vn mesme rang parallele, comme les cellules, G, σ, π, &c. ou φ, ψ, θ, &c.
Et celles qui sont entre deux lignes qui vont de haut en bas, s’appellent, cellules d’vn mesme rang perpendiculaire, comme les cellules G, φ, A, D, &c. & celles-cy, σ, ψ, B, &c.
Et celles qu’vne mesme base trauerse diagonalement sont dites cellules d’vne mesme base, comme celles qui suiuent, D, B, θ, λ, & celles-cy, A, ψ, π.
Les cellules d’vne mesme base également distantes de ses extremitez, sont dites reciproques, comme celles-cy, E, R, & B, θ. Parce que l’exposant du rang parallele de l’vne, est le mesme que l’exposant du rang perpendiculaire de l’autre, comme il paroist en cet exemple, ou E, est dans le second rang perpendiculaire, & dans le quatriesme parallele; & sa reciproque R, est dans le second rang parallele, & dans le quatriesme perpendiculaire reciproquement. Et il est bien facile de demonstrer que celles qui ont leurs exposans reciproquement pareils, sont dans vne mesme base, & également distantes de ses extremitez.
Il est aussi bien facile de demonstrer, que l’exposant du rang perpendiculaire de quelque cellule que ce soit, ioint à l’exposant de son rang parallele, surpasse de l’vnité l’exposant de sa base.
Par exemple, la cellule F, est dans le troisiéme rang perpendiculaire, & dans le quatriesme parallele, & dans la sixiesme base, & ces deux exposants des rangs, 3 † 4 surpassent de l’vnité l’exposant de la base 6. ce qui vient de ce que les deux costez du Triangle sont diuisez en vn pareil nombre de parties, mais cela est plustost compris, que demonstré.
Cette remarque est de mesme nature, que chaque base contient vne cellule plus que la precedente, & chacune autant que son exposant d’vnitez, ainsi la seconde φ σ à deux cellules, la troisiesme A ψ π en a trois &c.
Or les nombres qui se mettent dans chaque cellule se trouuent par cettte methode.
Le nombre de la premiere cellule qui est à l’angle droit est arbitraire, mais celuy-là estant placé tous les autres sont forcez, & pour cette raison il s’appelle le Generateur du triangle. Et chacun des autres est specifié par cette seule regle.
Le nombre de chaque cellule, est égal à celuy de la cellule qui la precede dans son rang perpendiculaire, plus à celuy de la cellule qui la precede dans son rang parallele. Ainsi la cellule F, c’est à dire le nombre de la cellule F, égale la cellule C, plus la cellule E; & ainsi des autres.
D’où se tirent plusieurs consequences. En voicy les principales, ou ie considere les triangles, dont le generateur est l’vnité; mais ce qui s’en dira conuiendra à tous les autres.
Consequence premiere.#
En tout Triangle Arithmetique, toutes les cellules du premier rang parallele, & du premier rang perpendiculaire, sont pareilles à la generatrice.
Car par la construction du Triangle, chaque cellule est égale à celle qui la precede dans son rang perpendiculaire, plus à celle qui la precede dans son rang parallele; Or les cellules du premier rang parallele, n’ont aucunes cellules qui les precedent dans leurs rangs perpendiculaires, ny celles du premier rang perpendiculaire dans leurs rangs paralleles, donc elles sont toutes égales entr’-elles, & partant au premier nombre generateur.
Ainsi, φ, égale G † zero, c’est à dire φ, égale, G.
Ainsi A, égale φ † zero, c’est à dire φ.
Ainsi σ, égale G † zero, & π, égale σ † zero.
Et ainsi des autres.