Mathematics · c. 300 BC
Euclid’s Elements, Book I: definitions, postulates and common notions
Excerpt · Elements, Book I · Alexandria, c. 300 BC
- Source
- el.wikisource.org
- Retrieved
- 27 September 2026
- License
- Public domain
- Rights holder
- Euclid; edition by J. L. Heiberg, 1883
- Language
- Greek
About this edition and its rights
Edition
Excerpt of the Greek text of Elements I as edited by J. L. Heiberg, Euclidis Elementa, vol. I (Euclidis Opera omnia, vol. I, Leipzig, Teubner, 1883), pp. 2-10. Kept: the heading and the 23 definitions (Ὅροι), the five postulates (Αἰτήματα) and the nine common notions (Κοιναὶ ἔννοιαι), complete, with Heiberg’s square brackets; left out: the Latin translation on the facing pages, the critical apparatus and testimonia under the text, the line numbers, and the 48 propositions that follow. The text comes from Greek Wikisource (raw wikitext of Στοιχεία/α, which names its source as the site Στοιχεῖα Εὐκλείδου of physics.ntua.gr), compared word by word with the Greek OCR of the Internet Archive item euclidisoperaomn01eucluoft (Gerstein Library, University of Toronto), every difference and every word read, accent by accent, on the scan of that item, and the line ends cut off in it on the scan of a second copy, euclidisoperaomn01eucl (Boston College). Differences from Wikisource, all back to the print: the headings “Ὅροι.”, “Αἰτήματα.” and “Κοιναὶ ἔννοιαι.” (Wikisource adds the counts κγ΄, ε΄ and θ΄ and writes “Κοιναί Ἒνοιαι”); the raised dot in definition κβ΄ (Wikisource a colon); the bracket of common notion δ΄ before its numeral; “μεῖζόν” in η΄; common notion θ΄ in square brackets, as Heiberg prints it. The elision mark is set as an apostrophe; the sixth numeral is set with a stigma (ϛ), as Wikisource does, where the print’s glyph looks like a final sigma.
Rights
Euclid’s text is ancient; the editor, Johan Ludvig Heiberg, died on 4 January 1928 (Wikidata Q936503), and the edition was published in 1883: it is in the public domain in France, where its author and editor died before 1 January 1956, and in the United States, where it was published before 1 January 1931. The Internet Archive gives the Toronto scan the possible-copyright-status NOT_IN_COPYRIGHT.
Greek Wikisource serves as the transcription only: its text is Heiberg’s public domain text, every word of which was checked on the 1883 scan, and no editorial matter of Wikisource is kept. The Perseus Digital Library text of Heiberg (CC BY-SA) was not used.
Ὅροι.#
α΄. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
β΄. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
γ΄. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
δ΄. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
ε΄. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
ϛ΄. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
ζ΄. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ’ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται.
η΄. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ’ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.
θ΄. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία.
ι΄. Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ’ ἣν ἐφέστηκεν.
ια΄. Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.
ιβ΄. Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.
ιγ΄. Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.
ιδ΄. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
ιε΄. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
ιϛ΄. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.
ιζ΄. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.
ιη΄. Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.
ιθ΄. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα.
κ΄. Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς.
κα΄. Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.
κβ΄. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον· τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.
κγ΄. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
Αἰτήματα.#
α΄. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
β΄. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ’ εὐθείας ἐκβαλεῖν.
γ΄. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
δ΄. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
ε΄. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.
Κοιναὶ ἔννοιαι.#
α΄. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
β΄. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
γ΄. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
[δ΄. Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
ε΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
ϛ΄. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.]
ζ΄. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ’ ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
η΄. Καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζόν [ἐστιν].
[θ΄. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσιν.]