Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre

In dem Aufsatze, betitelt: Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen (Journ. für Math. Bd. 77, S. 258), findet sich wohl zum ersten Male ein Beweis für den Satz, dass es unendliche Mannigfaltigkeiten giebt, die sich nicht gegenseitig eindeutig auf die Gesamtheit aller endlichen ganzen Zahlen 1, 2, 3, …, ν, … beziehen lassen, oder, wie ich mich auszudrücken pflege, die nicht die Mächtigkeit der Zahlenreihe 1, 2, 3, …, ν, … haben. Aus dem in § 2 Bewiesenen folgt nämlich ohne weiteres, dass beispielsweise die Gesamtheit aller reellen Zahlen eines beliebigen Intervalles (α…β) sich nicht in der Reihenform:

ω₁, ω₂, …, ω_ν, …

vorstellen lässt.

Es lässt sich aber von jenem Satze ein viel einfacherer Beweis liefern, der unabhängig von der Betrachtung der Irrationalzahlen ist.

Sind nämlich m und w irgend zwei einander ausschliessende Charaktere, so betrachten wir einen Inbegriff M von Elementen:

E = (x₁, x₂, …, x_ν, …),

welche von unendlich vielen Coordinaten x₁, x₂, …, x_ν, … abhängen, wo jede dieser Coordinaten entweder m oder w ist. M sei die Gesamtheit aller Elemente E.

Zu den Elementen von M gehören beispielsweise die folgenden drei:

E^I = (m, m, m, m, …),
E^II = (w, w, w, w, …),
E^III = (m, w, m, w, …).

Ich behaupte nun, dass eine solche Mannigfaltigkeit M nicht die Mächtigkeit der Reihe 1, 2, …, ν, … hat.

Dies geht aus folgendem Satze hervor:

„Ist E₁, E₂, …, E_ν, … irgend eine einfach unendliche Reihe von Elementen der Mannigfaltigkeit M, so giebt es stets ein Element E₀ von M, welches mit keinem E_ν übereinstimmt.“

Zum Beweise sei:

E₁ = (a_1,1, a_1,2, …, a_1,ν, …),
E₂ = (a_2,1, a_2,2, …, a_2,ν, …),
. . . . . . . . . . . .
E_μ = (a_μ,1, a_μ,2, …, a_μ,ν, …).
. . . . . . . . . . . .

Hier sind die a_μ,ν in bestimmter Weise m oder w. Es werde nun eine Reihe b₁, b₂, …, b_ν, …, so definirt, dass b_ν auch nur gleich m oder w und von a_ν,ν verschieden sei.

Ist also a_ν,ν = m, so ist b_ν = w, und ist a_ν,ν = w, so ist b_ν = m.

Betrachten wir alsdann das Element:

E₀ = (b₁, b₂, b₃, …)

von M, so sieht man ohne weiteres, dass die Gleichung:

E₀ = E_μ

für keinen positiven ganzzahligen Wert von μ erfüllt sein kann, da sonst für das betreffende μ und für alle ganzzahligen Werte von ν:

b_ν = a_μ,ν,

also auch im besondern:

b_μ = a_μ,μ

wäre, was durch die Definition von b_ν ausgeschlossen ist. Aus diesem Satze folgt unmittelbar, dass die Gesamtheit aller Elemente von M sich nicht in die Reihenform: E₁, E₂, …, E_ν, … bringen lässt, da wir sonst vor dem Widerspruch stehen würden, dass ein Ding E₀ sowohl Element von M, wie auch nicht Element von M wäre.

Dieser Beweis erscheint nicht nur wegen seiner grossen Einfachheit, sondern namentlich auch aus dem Grunde bemerkenswert, weil das darin befolgte Princip sich ohne weiteres auf den allgemeinen Satz ausdehnen lässt, dass die Mächtigkeiten wohldefinirter Mannigfaltigkeiten kein Maximum haben oder, was dasselbe ist, dass jeder gegebenen Mannigfaltigkeit L eine andere M an die Seite gestellt werden kann, welche von stärkerer Mächtigkeit ist als L.

Sei beispielsweise L ein Linearcontinuum, etwa der Inbegriff aller reellen Zahlgrössen z, die $\geqq$ 0 und $\leqq$ 1 sind.

Man verstehe unter M den Inbegriff aller eindeutigen Functionen f(x), welche nur die beiden Werte 0 oder 1 annehmen, während x alle reellen Werte, die $\geqq$ 0 und $\leqq$ 1 sind, durchläuft.

Dass M keine kleinere Mächtigkeit hat als L, folgt daraus, dass sich Teilmengen von M angeben lassen, welche dieselbe Mächtigkeit haben, wie L, z. B. die Teilmenge, welche aus allen Functionen von x besteht, die für einen einzigen Wert x₀ von x den Wert 1, für alle andern Werte von x den Wert 0 haben.

Es hat aber auch M nicht gleiche Mächtigkeit mit L, da sich sonst die Mannigfaltigkeit M in gegenseitig eindeutige Beziehung zu der Veränderlichen z bringen liesse, und es könnte M in der Form einer eindeutigen Function der beiden Veränderlichen x und z:

φ(x, z)

gedacht werden, so dass durch jede Specialisirung von z ein Element f(x) = φ(x, z) von M erhalten wird und auch umgekehrt jedes Element f(x) von M aus φ(x, z) durch eine einzige bestimmte Specialisirung von z hervorgeht. Dies führt aber zu einem Widerspruch. Denn versteht man unter g(x) diejenige eindeutige Function von x, welche nur die Werte 0 oder 1 annimmt und für jeden Wert von x von φ(x, x) verschieden ist, so ist einerseits g(x) ein Element von M, andererseits kann g(x) durch keine Specialisirung z = z₀ aus φ(x, z) hervorgehen, weil φ(z₀, z₀) von g(z₀) verschieden ist.

Ist somit die Mächtigkeit von M weder kleiner noch gleich derjenigen von L, so folgt, dass sie grösser ist als die Mächtigkeit von L. (Vgl. Crelle’s Journal, Bd. 84 S. 242.)

Ich habe bereits in den „Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre“ (Leipzig 1883; Math. Annalen Bd. 21) durch ganz andere Hülfsmittel gezeigt, dass die Mächtigkeiten kein Maximum haben; dort wurde sogar bewiesen, dass der Inbegriff aller Mächtigkeiten, wenn wir letztere ihrer Grösse nach geordnet denken, eine „wohlgeordnete Menge“ bildet, so dass es in der Natur zu jeder Mächtigkeit eine nächst grössere giebt, aber auch auf jede ohne Ende steigende Menge von Mächtigkeiten eine nächst grössere folgt.

Die „Mächtigkeiten“ repräsentiren die einzige und notwendige Verallgemeinerung der endlichen „Cardinalzahlen“, sie sind nichts anderes als die actual-unendlich-grossen Cardinalzahlen, und es kommt ihnen dieselbe Realität und Bestimmtheit zu, wie jenen; nur dass die gesetzmässigen Beziehungen unter ihnen, die auf sie bezügliche „Zahlentheorie“ zum Teil eine andersartige ist, wie im Gebiete des Endlichen.

Die weitere Erschliessung dieses Feldes ist Aufgabe der Zukunft.